データサイエンティスト検定対策｜データサイエンス力｜順列・確率・平均・分散を勉強

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どーも、りけーこっとんです。

DS検定の勉強をしよう！と思ったは良いものの、こんな悩みはありませんか？

とある女の子

DS検定ってどうやって勉強すればいいの？

DS検定の勉強の仕方が分からない…

とある男の子

本で勉強するのは分かるけど、高いなぁ…

無料で単語解説されているサイトとかないかな？

ひよっこDS

DS検定は、始まったばかりの試験だから、対策法とか分からないよね。

じゃあ、このサイトで出題範囲の内容を押さえていこう～

DS検定の解説をすぐ見たいよ！という方は、以下から最初の解説に飛べます。

ひよっこDS

今回はスキルチェックリスト

「DS１：順列や組み合わせの式を、適切に使い分けることができる」から

「DS４：分散・標準偏差・四分位などを理解し、使い分けられる」を解説していくよ～

本サイトでは超重要項目、重要項目、覚えておきたい項目と表記を分けますので、勉強時の参考にしてみてください。

DS検定って、そもそもどんな資格？という方は以下の記事をご覧くださいね。

試験範囲は以下の二つから出題されます。

・スキルチェックリスト
・数理、データサイエンス、AI（リテラシーレベル）モデルカリキュラム

本内容は以下の書籍を参考に作成しております。

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なお、本サイトはDS検定の合格を保証するわけではありませんので、ご了承ください。

では早速、内容に入っていきましょう！

※「DS○○：」項目の文章は独自に短縮して表現しております

DS１：順列や組み合わせの式を、適切に使い分けることができる
1. 順列
2. 組み合わせ
DS２：確率に関する基本的な概念の意味を説明できる
DS３：平均値・中央値・最頻値の算出方法の違いを説明できる
DS４：分散・標準偏差・四分位などを理解し、使い分けられる
まとめ

DS１：順列や組み合わせの式を、適切に使い分けることができる

順列や組み合わせって聞いたことありますかね？

高校一年生の数学で聞いたことある方も多いと思います。

この後、数字に「！」がついているものがあります。

「！」は「階乗」と呼ばれる計算で、数字を一つずつ減らしていき、全てを掛け算することで得られます。

（例） $$5! = 5\times4\times3\times2\times1 = 120$$

順列

順列（Permutation）：
複数の異なるものから、何個か選んで並べる場合の数。
（例）４枚のカードから３枚選んで１列に並べると、並べ方は何通りある？

式
$\displaystyle {}_n \mathrm{P}_k = \frac{n!}{(n-k)!}$

順列を具体例で計算すると、以下の通り。

$${}_4 \mathrm{P}_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4\times3\times\times2\times1}{1} = 24 通り$$

組み合わせ

組み合わせ（Combination）：
複数の異なるものから、何個か選ぶ組み合わせの数。
（例）４枚のカードから３枚選ぶと、その組み合わせの数は何通り？

式
$\displaystyle {}_n \mathrm{C}_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

組み合わせを具体例で計算すると、以下のようになります。

$${}_4 \mathrm{C}_3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4\times3\times\times2\times1}{(3\times2\times1)\times(1)} = 4 通り$$

「組み合わせは」異なるものから一定数選ぶ組み合わせの数、
さらに選んだものを並べるのが「順列」という意味になります。

この二つを使いこなせることが、DS１の要件ですね。

DS２：確率に関する基本的な概念の意味を説明できる

DS２の項目は、以下の４つを説明できますか？ということです。

・確率
・条件付き確率
・期待値
・独立

以上の４つを解説する前に、以下のキーワードも押さえておきましょう。

確率の基本概念を説明するための前提知識のようなものです。

試行：
複数の偶然で起こる結果があって、そのうち一つが偶然起こること。
（例）サイコロを振って1～6のいずれかの目が出ること

事象：
試行によって起きた結果のこと。
（例）サイコロを振って１が出る

確率変数：
確率で値が変わる数値のこと。
（例）サイコロの出目「1～6」、サイコロを３回振って１が出る「回数(1～3)」

では、メインの単語解説に行きましょう。

確率

確率とは？と聞かれると、以外と説明って難しいですよね。

先ほどの「事象」という言葉の意味を使うと、以下のように説明できます。

確率：「偶然起こる事象の起こりやすさ」のこと。

条件付き確率

条件付き確率は以下のように説明できます。

条件付き確率：
ある事象Bが起こる確率のもとで、事象Aが起こる確率のこと。
次のように表します。

$\displaystyle P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

具体的な計算を見てみましょう。

Bの確率を「サイコロを振って偶数が出る確率」とします。
Aの確率を「サイコロで２が出る確率」としましょう。

すると$\displaystyle P(A|B)$の意味は
「サイコロを振って偶数が出たとき、その数が２である確率」となります。

Bの確率は$\displaystyle P(B) = \frac{3}{6}$でAの確率は$\displaystyle P(A) = \frac{1}{6}$ですね。

また「サイコロを振って偶数かつ、２である確率$\displaystyle P(A\cap B)$」は「２が出る確率」と同じです。

つまり$\displaystyle P(A\cap B) = \frac{1}{6}$ですね。

では、元の定義式に当てはめてみましょう。

$$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{3}{6}} = \frac{1}{3}$$

なので「サイコロを振って偶数が出たとき、その数が２である確率」は$\displaystyle \frac{1}{3}$です。

期待値

期待値も、よく聞く単語ではないでしょうか。

でも「説明して」と言われると難しいもの。

期待値：
確率変数にそれぞれ対応する確率をかけて、全て足した値。
次のように表します。$\displaystyle E(X)$

では、具体的にサイコロの出目で計算してみましょう。

（例）サイコロの出目の期待値 $$E(X) = 1\times\frac{1}{6} + 2\times\frac{1}{6} + 3\times\frac{1}{6} + 4\times\frac{1}{6} + 5\times\frac{1}{6} + 6\times\frac{1}{6} = 3.5$$

独立

「独立」は以下のように説明できます。

独立：
前に行った試行が次の試行に影響を与えないこと。試行について使う単語。
（例）同じコインを二回投げて、二回とも表の試行
⇒「この試行は独立」という

ちなみに、「独立」と似た言葉に「排反」というものがあります。

排反：
二つの事象が同時に起こらないこと。事象について使う単語。
（例）コインを一回投げて「表」と「裏」が同時に出る確率
⇒「表と裏の事象は互いに排反」という

DS３：平均値・中央値・最頻値の算出方法の違いを説明できる

DS３は、平均値・中央値・最頻値それぞれを説明できるかという項目。

それぞれ見ていきましょう。

平均値

平均値の説明ってできますかね？

りけーこっとんは「真ん中の値でしょ？」くらいに思ってました。

平均値：
全部のデータを足して、データの個数で割った値。
次のように表します。

$$\bar{X} = \frac{データの総和}{データの個数} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_k$$

最後の式は難しそうに見えますが、それぞれのデータ$\displaystyle x$を1つ目から全部足した$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}x_k$という操作になります。

数学的に正しく書くと、このような形になるんですね。

割と頻発する式なので、覚えておきましょう。

中央値

中央値と平均値、何が違うのでしょうか。

どちらも「真ん中の値」みたいなイメージがありますよね。

中央値：
データを小さい順に並べた時に、真ん中に来る値のこと。

※データの数が偶数個の時は、ちょうど真ん中に来る数字がありません。
そのため、中央に近い二つの値を足して２で割ります。

中央値は、単純に小さい順にデータを並べて「順番的に真ん中の値」という意味ですね。

平均値と中央値にズレがあると、「データに偏りがあるのかも…？」ということが予想できます。

最頻値

最頻値は以下のように定義されます。

最頻値：
データの中で一番多く出現した値のこと。

読んで字の通りで、「最」も「頻」繁に現れた「値」のことですね。

平均値・中央値・最頻値の具体的な計算

サイコロを振って「5・3・6・1・4・2・6」の順で数字が出たとします。
この時の「平均値」「中央値」「最頻値」を求めましょう。

平均値は以下のように計算できますね。

$$\bar{X} = \frac{データの総和}{データの個数} = \frac{5+3+6+1+4+2+6}{7} = 3.86$$

中央値は小さい順に並べた時に、真ん中に来る値です。

最頻値はデータの中で、最も多く出現した値のことでしたね。

今回は６が２回出ているので、最頻値は６です。

DS４：分散・標準偏差・四分位などを理解し、使い分けられる

DS４は、分散・標準偏差・四分位数・パーセンタイルそれぞれを説明できるかという項目。

一つ一つ解説していきますね。

分散

分散とは、以下のように定義されています。

分散：
データの散らばり具合を表す指標のこと。$\displaystyle \sigma^2$
「平均との差の二乗」を合計した平均の値。

平均値を$\displaystyle \bar{x}$とすると
$\displaystyle \sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}(x_k – \bar{x})^2$

分散が大きいほど、データのばらつきが大きいという意味になるんです。

しかし、分散は「単位が二乗になっている」という問題点があります。

例えば身長の場合、分散の単位は$\displaystyle cm^2$となってしまうんですね。

なので、数字が大きくなりすぎてしまうというのが問題です。

標準偏差

分散は「単位が二乗になっている」という問題点があるという説明をしました。

そこで、単位を元のデータと一緒にして、理解しやすくしたものが標準偏差です。

標準偏差：
分散にルートを取った値。$\displaystyle \sigma$

分散を$\displaystyle \sigma^2$とすると
$\displaystyle \sigma = \sqrt{\sigma^2}$

ルートを取ると＋－どちらも出てくるのでは？と思う人もいるでしょう。

基本的に標準偏差は、＋の値を使います。

データの散らばり具合を見たいからですね。

－の値は無視してかまいません。

四分位数

四分位数も、データの散らばりを見たい時に使う値です。

四分位数：
データを小さい順に並べた時に、４等分できる区切りの値。
区切りの値のため、基本的にはデータに３つ存在します。

小さい四分位数から順に
・第一四分位点（数）
・第二四分位点（数）
・第三四分位点（数）

※中央値と同じようにデータの数が偶数個の時は、ちょうど真ん中に来る数字がありません。
そのため、中央に近い二つの値を足して２で割ります。

先ほどと同じ例を使って四分位数を求めてみましょう。

サイコロを振って「5・3・6・1・4・2・6」の順で数字が出たとします。
この時の「第一四分位点」「第二四分位点」「第三四分位点」を求めましょう。

なので、
第一四分位点が2.5
第二四分位点が4
第三四分位点が5.5

という感じに求まりました。

パーセンタイル

パーセンタイルも、四分位数と同じようにデータの散らばりを見たい時に使う値です。

パーセンタイル：
データを小さい順に並べた時に、●●％に位置する値。

第一四分位点：25%パーセンタイル
第二四分位点：50%パーセンタイル
第三四分位点：75%パーセンタイル

四分位点に比べて、任意の位置でのデータの散らばり具合を見ることができます。

まとめ

今回は「順列・確率・平均・分散」などを解説してきました。

以下の項目を説明できるようになっているでしょうか？

・順列
・組み合わせ
・確率
・条件付き確率
・期待値
・独立
・平均値
・中央値
・最頻値
・分散
・標準偏差
・四分位数
・パーセンタイル

DS検定は覚える内容が多いです。

一つ一つを細部まで見るというよりは、広く浅く見ていくことが重要かと思います。

DS検定を取得して、データサイエンティストやAI関連の仕事への道を開きましょう！

次回は「母平均」「標準正規分布」「相関と因果」などについて解説していきます。

ではまた～

DS検定の続きの解説は以下のページからどうぞ！

DS検定対策｜データサイエンス力｜順列・確率・平均・分散を勉強