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どーも、りけーこっとんです。
DS検定の勉強をしよう！と思ったは良いものの、こんな悩みはありませんか？
DS検定ってどうやって勉強すればいいの？
DS検定の勉強の仕方が分からない…
本で勉強するのは分かるけど、高いなぁ…
無料で単語解説されているサイトとかないかな？
DS検定は、始まったばかりの試験だから、対策法とか分からないよね。
じゃあ、このサイトで出題範囲の内容を押さえていこう～
DS検定の解説をすぐ見たいよ！という方は、以下から最初の解説に飛べます。
今回はスキルチェックリスト
「DS２５：確率密度関数を定積分して確率が得られる」を解説していくよ～
本サイトでは超重要項目、重要項目、覚えておきたい項目と表記を分けますので、勉強時の参考にしてみてください。
DS検定って、そもそもどんな資格？という方は以下の記事をご覧くださいね。
試験範囲は以下の二つから出題されます。
・スキルチェックリスト
・数理、データサイエンス、AI（リテラシーレベル）モデルカリキュラム
本内容は以下の書籍を参考に作成しております。
なお、本サイトはDS検定の合格を保証するわけではありませんので、ご了承ください。
では早速、内容に入っていきましょう！
※「DS○○：」項目の文章は独自に短縮して表現しております
DS２５：確率密度関数を定積分して確率が得られる
この項目は「確率密度関数」を「定積分」すると確率が得られることを説明できてくださいね、という項目。
ここでのキーワードは「定積分」「確率密度関数」。
それぞれ解説していきますが、前提知識として「積分」「原始関数」「不定積分」を知っておく必要があります。
積分・原子関数・不定積分とは？
積分
微分に対して逆の計算のこと。
「不定積分」と「定積分」の2種類がある。
不定積分
微分とは逆の計算を行って、微分される前の関数を求めること。
つまり原始関数を求めること。
\(\displaystyle \int f(x) dx\)のように表記する
不定積分の一番簡単な公式は以下の通り。
※DS検定ではこの公式を覚えておけば問題ないと思います。
例えば\(\displaystyle F(x)=x^2\)を積分すると、
\(\displaystyle \int x^2 dx=\frac{1}{2+1}x^{2+1} + C\)Cは積分”定数”というように、微分したら０になります。
※そうだっけ？と思った方は「導関数とは？｜ひよっこDS」をご覧ください。
なので\(\displaystyle \frac{1}{3}x^{3}\)はいくつもある原始関数のうちの一つで、Cには定数であれば何が入っても良いわけですね。
つまり、関数\(\displaystyle x^2\)の原始関数は以下のようなものがあります。
・\(\displaystyle \frac{1}{3}x^{3} + \color{red}{4}\)（数値のみが入る項）
・\(\displaystyle \frac{1}{3}x^{3} + \color{red}{3y – 5}\)（積分する変数以外の変数項）
上記の例では赤字の部分が積分定数になりますね。
このように、原始関数というのは一つだけでなく、たくさんあります。
定積分とは？
さて、先ほど積分には「不定積分」と「定積分」があると解説しました。
積分・原子関数・不定積分、これらを解説してようやくDS25の項目で重要な「定積分」について解説できます。
定積分
不定積分に実際の値(a, b)を代入して、aとbの値の差を求めること。
関数の変数a～bの間の面積を求めることと同義。
\(\displaystyle \int_a^b f(x) dx\)のように表記する。
なぜ面積を求めることと同じ意味なの？と思った方は、「積分とは何なのか？面積と積分計算の意味｜アタリマエ！」をご覧ください。
※上記の記事を理解するには「はさみうちの定理」「極限」「微分の定義式」の前提知識が必要。
難しそう…と思った方は、「積分は面積を求めること」と覚えてしまってもいいと思います。
不定積分は\(\displaystyle \int x^2 dx=\frac{1}{3}x^{3} + C\)のように関数で求まりましたね。
しかし定積分では具体的な値が求まります。
定積分の一番簡単な式は以下の通り。
※DS検定ではこの公式を覚えておけば問題ないと思います。
文字だけではわかりにくいので、定積分の実際の計算を見ていきましょう。
関数\(\displaystyle x^2\)の変数が\(\displaystyle 1\leq x \leq 3\)の範囲である面積を求めなさい。
※\(\displaystyle \int_1^3 x^2 dx\)の計算をせよ、と同義になります。
では面積を求めるために、\(\displaystyle \int_1^3 x^2 dx\)を計算しましょう。
\(\displaystyle \begin{align} \int_1^3 x^2 dx &= \left[ \frac{1}{2+1}x^{2+1} + C \right]_1^3 \\ &= \left( \frac{1}{3}3^{3} + C \right) – \left( \frac{1}{3}1^{3} + C \right) \\ &= 9-\frac{1}{3} \\ &= \frac{26}{3} \end{align}\)したがって、\(\displaystyle 1\leq x \leq 3\)の範囲の面積は\(\displaystyle \frac{26}{3}\)となります。
確率密度関数とは？
確率密度関数
連続値を取る変数に対して、確率を表した関数のこと。
縦軸に「確率密度」、横軸に「変数」を取った以下のようなイメージ。
それぞれの値がどれくらいの確率密度で出るのか、を表したグラフです。
上記の例だと150 cmの身長の確率密度は0.26程ですね。
また、以下のように面積にすると、その間の値を取る確率が算出できます。
ここで注意したいのは、身長150 cmをぴったり取る確率は０であるということ。
サイコロの目のように4がぴったり出る確率は\(\displaystyle \frac{1}{6}\)ですよね。
これはサイコロの目が{1, 2, 3, 4, 5, 6}という６つの離散的な値しか取らないためです。
なので確率の総和１を、あり得る場合の数６で割って\(\displaystyle \frac{1}{6}\)となるわけです。
しかし身長は150.3 cmもあれば149.000004 cmなどもありますよね。
つまり連続値になると、確率の変数の取りえる数が無限に（\(\displaystyle \infty\)）大きくなります。
なので確率の総和１を、あり得る場合の数\(\displaystyle \infty\)で割って\(\displaystyle \frac{1}{\infty}\)となるわけですね。
分母が無限に大きいので、ある値（身長150 cmなど）をぴったり取る確率は０となります。
まとめ
今回は「定積分・確率密度関数」などを解説してきました。
以下の項目を説明できるようになっているでしょうか？
・積分
・原始関数
・不定積分
・定積分
・確率密度関数
DS検定は覚える内容が多いです。
一つ一つを細部まで見るというよりは、広く浅く見ていくことが重要かと思います。
DS検定を取得して、データサイエンティストやAI関連の仕事への道を開きましょう！
次回は「集合論の基礎」などについて解説していきます。
ではまた～
DS検定の続きの解説は以下のページからどうぞ！
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